Question

 如图，已知抛物线与轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S_△PDE =S_{四边形ABMC}．                                                  

Answer 1

解：（1）∵ 抛物线（）A（-1，0）、B（3，0）C（0，3）三点，

∴ ，解得  ．

∴ 抛物线的解析式为，顶点M为（1，4）．         

（2）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，

       ∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．

       设对称轴与x轴交于点H，

∵ PH∥y轴，

∴ △PHB∽△CBO．

∴ ．

       由题意得BH=2，CO=3，BO=3，

 ∴ PH=2．

∴ P（1，2）．                 

（3）∵ A（-1，0）B（3，0），C(0，3)，M(1，4)，

   ∴ S_{四边形ABMC}=9．

∵ S_{四边形ABMC} =9S_△PDE， ∴=1．

      ∵ OC=OD，∴∠OCB=∠OBC= 45°．

∵ DE∥PC，∴∠ODE=∠OED= 45°．

∴ OD=OE=3-m．

∵ S_{四边形PDOE}=，

∴ S_△PDE= S_{四边形PDOE}- S_△DOE=（0<m<3）．

∴．解得，m₁=1， m₂=2．