Question

17．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D，点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC与边AC交于点E，连接ED，以PE，ED为邻边作?PEDF，设?PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x＜6）．
（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）；
（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由PE与BC平行，得到三角形APE与三角形ABC相似，根据三角形ABC为等边三角形，得到三角形APE为等边三角形，可得出PE=AP=x；
（2）若四边形PEDF为菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE为等边三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等边对等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性质得到∠EDC=∠C，利用等角对等边得到DE=EC，即可求出x的值；
（3）分两种情况考虑：当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，如图1；当3＜x＜6时，重合部分是梯形PEDB，如图2，分别求出y与x的函数关系式即可．

解答 解：（1）∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APE为等边三角形，
∴PE=AP=x（0＜x＜6）；
（2）∵四边形PEDF为菱形，
∴PE=DE=x，
∵△APE为等边三角形，即AE=PE，
∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=3，
则x=3；
（3）当x=3，即P为AB的中点时，PE=$\frac{1}{2}$BC，则F与B重合，
当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，如图1，

在等边△ABC中，AD=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
在等边△APE中，AM=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，则DM=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
此时y=x（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+3$\sqrt{3}$x；
当3＜x＜6时，重合部分是梯形PEDB，如图2，

此时y=$\frac{1}{2}$（PE+FD）•DM=$\frac{1}{2}$×（x+3）×（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，平行的性质，以及平行四边形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．