题目内容

如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是

A.
2
B.
3.5
C.
$数学公式$
D.
4

A
分析：设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4-3k，求出OA=4-3k，OB= $\text{[math]}$ ，求出△AOB的面积是 $\text{[math]}$ •OB•OA=12- $\text{[math]}$ =12-（9k+ $\text{[math]}$ ），根据-9k- $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =24和当且仅当-9k=- $\text{[math]}$ 时，取等号求出k=- $\text{[math]}$ ，求出OA=4-3k=8，OB= $\text{[math]}$ =6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得： $\text{[math]}$ ×6×8= $\text{[math]}$ ×6R+ $\text{[math]}$ ×8R+ $\text{[math]}$ ×10R，求出即可．
解答：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直线AB的解析式是y=kx+4-3k，
当x=0时，y=4-3k，
当y=0时，x= $\text{[math]}$ ，
即A（0，4-3k），B（ $\text{[math]}$ ，0），
△AOB的面积是 $\text{[math]}$ •OB•OA= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（4-3k）=12- $\text{[math]}$ =12-（9k+ $\text{[math]}$ ），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须 $\text{[math]}$ 最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-9k- $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =2×12=24，
当且仅当-9k=- $\text{[math]}$ 时，取等号，解得：k=± $\text{[math]}$ ，
∵k＜0，
∴k=- $\text{[math]}$ ，
即OA=4-3k=8，OB= $\text{[math]}$ =6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得： $\text{[math]}$ ×6×8= $\text{[math]}$ ×6R+ $\text{[math]}$ ×8R+ $\text{[math]}$ ×10R，
R=2，
故选A．
点评：本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度．