Question

如图，抛物线y=a（x﹣1）²+（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为　　　　　　．

Answer 1

　．

【考点】二次函数综合题．

【分析】设点B的坐标为（m，a（m﹣1）²+），点C坐标为（n，0），由AD平分△ABO的面积可知点D为线段OB的中点，结合DF∥BC可知DF是△OBC的中位线，即DF=BC，用两点间的距离公式表示出线段BC的长度，根据实数的平方非负可找出BC的最小值，从而得出结论．

【解答】解：设点B的坐标为（m，a（m﹣1）²+），点C坐标为（n，0）．

∵点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，

∴OD=BD，

又∵DF∥BC，

∴DF是△OBC的中位线，

∴DF=BC．

根据两点间的距离公式可知：

BC²=（m﹣n）²+=（m﹣n）²+a²（m﹣1）⁴+2a（m﹣1）²+2，

结合抛物线开口向上可知a＞0，

∴（m﹣n）²≥0，a²（m﹣1）⁴≥0，2a（m﹣1）²≥0，

∴BC²≥2，

∴BC=．

∵DF=BC，

∴DF≥．

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数的应用、两点间距离公式以及实数的平方非负，解题的关键是根据实数的平方非负找出线段BC的最小值．本题属于中档题，难度不大，巧妙的利用了两点间的距离公式寻找最值，两点间的距离公式虽说高中知识，单在初中阶段我们已经经常用到，此处使用给做题带来了极大的方便，故在日常做题中应适度的增加该部分的练习．