Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=$\frac{6}{x}$相交于点A（m，3），B（-6，n），与x轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S_△ACP=$\frac{3}{2}$S_△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S_△ACP=$\frac{3}{2}$S_△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=$\frac{6}{x}$上，
∴m=2，n=-1，
∴A（2，3），B（-6，-1）．
将（2，3），B（-6，-1）带入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=2k+b}\\{-1=-6k+b}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2．

（2）当y=$\frac{1}{2}$x+2=0时，x=-4，
∴点C（-4，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S_△ACP=$\frac{3}{2}$S_△BOC，A（2，3），B（-6，-1），
∴$\frac{1}{2}$×3|x-（-4）|=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=2，
解得：x₁=-6，x₂=-2．
∴点P的坐标为（-6，0）或（-2，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S_△ACP=$\frac{3}{2}$S_△BOC，找出|x+4|=2．