Question

8．如图，直线l₁的解析式为y=2x-2，且l₁与x轴交于点A，直线l₂经过B（4，0），C（3，1），直线l₁、l₂交于点D．
（1）求点A的坐标及直线l₂的解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）是否存在点M，使A、B、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在y=2x-2中，令y=0，即可求得横坐标，则A的坐标即可求得；
（2）利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）首先解方程组求得D的坐标，然后利用图象的平移，M可以看成由A或B或D平移得到，利用平移方向、距离与坐标变化之间的关系即可求得．

解答 解：（1）在y=2x-2中，令y=0，则2x-2=0，解得x=1，
则A的坐标是（1，0）．
设直线l₂的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则直线l₂的解析式是y=-x+4；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
AB=4-1=3，
则S_△ABD=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）当四边形ABMD是平行四边形时，A的坐标是（1，0），D的坐标是（2，2），即A向右平移一个单位长度，向上移动2个单位长度得到D，则M的坐标是（4+1，0+2），即（5，2）；
当四边形ABDM是平行四边形时，B到D是向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，则M的坐标是（-1，2）；
当四边形AMBD是平行四边形时，D到A是向左平移1个单位长度，然后向下平移2个单位长度，则M的坐标是（3，-2）．
总之，M的坐标是（5，1）或（-1，2）或（3，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质，理解M可以看成由A或B或D平移得到是关键．