题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线y=| 1 |
| 2 |
| 5 |
（1）求点D的坐标；
（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；
（3）若以动点为E圆心，以2
| 5 |
| 1 |
| 8 |
分析：现根据直线y=
x+
与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，进而再求出OD的长度；然后根据需要作出恰当的辅助线，再结合题意对题目进行分析．
| 1 |
| 2 |
| 5 |
解答：
解：（1）由题意知A（-2
，0）B（0，
），
∴OA=2
，OB=
，
∴AB=
=5，
∵OD⊥AB，
∴
OA•OB=
AB•OD，
∴OD=
=2．
过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=
，
∴DH=2OH．
设OH=a，则DH=2a．
∴a2+4a2=4，
∴a=
．
∴OH=
，DH=
．
∴D（-
，
）；
（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
∵四边形DFB′G是平行四边形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，
）．
设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
把M（0，
）D（-
，
）代入y=kx+b，
得
，解得
．
∴线段DE所在直线的解析式为y=-
x+
；
（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2
，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．
则
，解得
．
∴直线A′B′的解析式为y=-
x+
．
∴N（
，0），
∴KN=
，
∴A’N=
=
．
当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．
∵tan∠A’NK=
=
，
∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．
又∵tan∠E1A’B’=
，
∴A’Q1=24m，
∴28m=
，
∴m=
，
∴E1N=
，
∴OE1=ON-E1N=
，此时t=
．
过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．
∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，
∴
=
，
∴E1S1=
×
=
．
∵⊙E的半径为2
，而
＜2
，
∴⊙E1与直线A’O相交．
当E点在N点右侧点E2位置时，
过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．
同理OE2=5，此时t=5．
过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．
同理E2S2=
×5=2
．
∵⊙E的半径为2
，
∴⊙E2与直线A′O相切．
∴当t=
或t=5时，tan∠EA′B′=
；
当t=
时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．
解：（1）由题意知A（-2| 5 |
| 5 |
∴OA=2
| 5 |
| 5 |
∴AB=
(2
|
∵OD⊥AB，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴OD=
2
| ||||
| 5 |
过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=
| 1 |
| 2 |
∴DH=2OH．
设OH=a，则DH=2a．
∴a2+4a2=4，
∴a=
2
| ||
| 5 |
∴OH=
2
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
∴D（-
2
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
∵四边形DFB′G是平行四边形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，
| ||
| 2 |
设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
把M（0，
| ||
| 2 |
2
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
得
|
|
∴线段DE所在直线的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
| ||
| 2 |
（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2
| 5 |
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．
则
|
|
∴直线A′B′的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
∴N（
| 10 |
| 3 |
∴KN=
| 16 |
| 3 |
∴A’N=
| A′K2+KN2 |
| 20 |
| 3 |
当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．
∵tan∠A’NK=
| A′K |
| KN |
| 3 |
| 4 |
∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．
又∵tan∠E1A’B’=
| 1 |
| 8 |
∴A’Q1=24m，
∴28m=
| 20 |
| 3 |
∴m=
| 5 |
| 21 |
∴E1N=
| 25 |
| 21 |
∴OE1=ON-E1N=
| 15 |
| 7 |
| 15 |
| 7 |
过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．
∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，
∴
| E1S1 |
| OE1 |
| A′K |
| OA′ |
∴E1S1=
| 4 | ||
2
|
| 15 |
| 7 |
6
| ||
| 7 |
∵⊙E的半径为2
| 5 |
6
| ||
| 7 |
| 5 |
∴⊙E1与直线A’O相交．
当E点在N点右侧点E2位置时，
过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．
同理OE2=5，此时t=5．
过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．
同理E2S2=
| 4 | ||
2
|
| 5 |
∵⊙E的半径为2
| 5 |
∴⊙E2与直线A′O相切．
∴当t=
| 15 |
| 7 |
| 1 |
| 8 |
当t=
| 15 |
| 7 |
点评：解决较复杂的几何问题，作出合适的辅助线是解决问题的一个关键，同时要熟记一些定理或推论．
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