Question

16．如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AB是⊙O₂的直径，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，并与BO₁的延长线交于点P，BP分别与⊙O₁、⊙O₂交于点C、D．求证：
（1）AC∥ED；
（2）AD=AE．

Answer 1

分析 （1）根据弦切角定理得到∠ACB=∠EAB，由圆周角定理得到∠EDB=∠EAB，根据平行线的判定定理证明；
（2）根据圆周角定理得到∠CAB=90°，根据平行线的性质得到AB⊥DE，根据垂径定理证明即可．

解答 证明：（1）∵AE是⊙O₁的切线，
∴∠ACB=∠EAB，
由圆周角定理得，∠EDB=∠EAB，
∴∠EDB=∠ACB，
∴AC∥ED；
（2）∵BC是⊙O₁的直径，
∴∠CAB=90°，
∵AC∥ED，
∴AB⊥DE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AE}$，
∴AD=AE．

点评 本题考查的是相交两圆的性质、切线的性质，掌握弦切角定理、圆周角定理和切线的性质定理是解题的关键．