Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)．以A为顶点的抛物线y＝ax²＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

(3)在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)A(1，4)．1分 　　由题意知，可设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋4 　　因抛物线过点C(3，0)， 　　∴0＝a(3－1)2＋4 　　∴a＝－1 　　所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4， 　　即y＝－x2＋2x＋3；2分 　　(2)∵A(1，4)，C(3，0)， 　　∴可求直线AC的解析式为y＝－2x＋6． 　　点P(1，4－t)．3分 　　将y＝4－t代入y＝－2x＋6中，解得点E的横坐标为x＝1＋．4分 　　∴点G的横坐标为1＋t/2，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4－t2/4． 　　∴GE＝(4－)－(4－t)＝t－．5分 　　又点A到GE的距离为t/2，C到GE的距离为2－t/2， 　　即S△ACG＝S△AEG＋S△CEG＝1/2·EG·t/2＋1/2·EG(2－t/2) 　　＝·2(t－)＝－(t－2)2＋1；7分 　　当t＝2时，S△ACG的最大值为1；8分 　　(3)t＝或t＝20－8；12分 　　(说明：每值各占2分，多出的值未舍去，每个扣1分)