Question

【题目】问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．

操作发现：

（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的△，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是 ．

（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，连接，试求的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）先判断出∠ACD=∠BAC，进而判断出∠BAC=∠AC'D，进而判断出∠CAC'=∠AC'D，即可的结论；
（2）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由旋转可知，AC=AC'，得出平行四边形是菱形，由旋转可知对应角相等，得出∠CAC'是直角，即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB=30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论．

（1）在如图1中，

是矩形的对角线，

，，

，

在如图2中，由旋转知，，，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

是菱形，

故答案为：菱形；

（2）在图1中，四边形是矩形，

，

，，

在图3中，由旋转知，，

，

，

点，，在同一条直线上，

，

由旋转知，，

点是的中点，

，，

，

四边形是平行四边形，

，

是菱形，

，

菱形是正方形；

（3）在中，，，

，，，

，

由（2）结合平移知，，

在中，，

，

，

在中，，

，

在中，．