Question

19．如图，一次函数y=$\frac{2}{3}$x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求线段AB的长；
（2）过B、C两点的直线对应的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=$\frac{2}{3}$x+2，令x=0求出y的值，确定出B坐标，得到OB的长，令y=0，求出x的值，确定出A点的坐标，求出OA的长，然后根据勾股定理即可求得AB的长；
（2）过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．

解答 解：（1）对于直线y=$\frac{2}{3}$x+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
令y=0，得到x=-3，即A（-3，0），OA=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
（2）过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠BOA=90°}\\{∠ACM=∠BAO}\\{AC=BA}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C（-5，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=-$\frac{1}{5}$x+2．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．