Question

20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A₁B₁C，当A₁落在AB边上时，连接B₁B，取BB₁的中点D，连接A₁D，则A₁D的长度是（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 2
• C． 3
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质求出AB、BC的长，根据旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理计算即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，∠A=60°，
由勾股定理得，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
由旋转的性质可知，CA=CA′，由∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形，
∴AA′=2，
∴A′B=2，
由旋转的性质可知，△B₁BC是等边三角形，
∴BB₁=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得，A₁D=$\sqrt{7}$
故选：A．

点评 本题考查的是旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．