Question

如图，正方形ABCD的边长为4a，E是CD边的中点，F在BC边上移动．问当F移到什么位置时，AE平分∠FAD？请证明你的结论．

Answer 1

分析：①证到∠AEF=90°后，也可过E作EG⊥AF于G，通过证明Rt△ADE≌Rt△AGE也可．
②连接EF后，通过分别计算出Rt△ADE和△AEF的边，考查三边对应成比例而得到△ADE∽△AEF也可．
③计算AE²=20a²，EF²=5a²，AF²=25a²，由勾股定理逆定理知△AEF为Rt△，再由tan∠EAF=tan∠EAD=

1

2

，
∠EAF和∠EAD都是锐角，∠FAE=∠EAD．

解答：解：当点F移动到距点C为a（即CF=a）时，AE平分∠FAD．（2分）
证明：连接EF，则在Rt△ADE与Rt△ECF中，
由已知可得AE=2

5

a，EF=

5

a．

AD

EC

=

4a

2a

=2，

DE

CF

=

2a

a

=2，
∴

DE

CF

=

AD

EC

，
∴Rt△ADE∽Rt△ECF．（4分）
于是∠AED=∠EFC，从而可得∠AEF=90°．（5分）
∴

AE

AD

=

5

2

=

EF

DE

，
∴Rt△ADE∽Rt△AEF，（6分）
故∠DAE=∠EAF．（7分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识点．