Question

如图，已知矩形ABCB中，CH⊥BD于点H，P为AD上的一个动点(点P与点A、D不重合)，CP与BD交于点E，若CH＝，DH∶CD＝5∶13，设AP＝x，四边形ABEP的面积为y．

(1)求BD的长；

(2)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当四边形ABEP的面积是△PED面积的5倍时，连结BP，判断△PAB与△PDC是否相似，如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(见答图) 　　(1)∵DH∶CD＝5∶13， 　　∴设DH＝5k(k＞0)，则CD＝13k． 　　∵CH⊥BD于点H， 　　在Rt△CHD中，由勾股定理， 　　CH2＋DH2＝CD2． 　　∴CH＝ 　　＝＝12k． 　　∵CH＝，∴12k＝，k＝． 　　∴DC＝5，DH＝． 　　又∵四边形ABCD是矩形， 　　∴∠BCD＝． 　　∴DC2＝DH·BD，BD＝＝13． 　　(2)在Rt△BCD中，根据勾股定理BC＝12． 　　∴AD＝12． 　　∵AP＝x，∴PD＝12－x． 　　过E点作EF⊥AD于F，延长FE交BC于点M，则EM⊥BC． 　　∵AD∥BC，∴△EDP∽△EBC． 　　∴＝． 　　∵EF＋EM＝5，∴EM＝5－EF． 　　∴=， 　　∴EF＝． 　　∴S△PED＝(12－x)· 　　＝． 　　∵S△ABD＝AB·AD＝＝30， 　　又∵S四边形ABEP＝S△ABD－S△PED， 　　∴y＝30－， 　　其中0＜x＜12． 　　(3)∵S四边形ABEP＝5S△PED， 　　∴S四边形ABEP＝S△ABD＝25． 　　∴30－＝25． 　　整理，得 　　x2－22x＋96＝0． 　　解得：x1＝6，x2＝16． 　　经检验，x1＝6，x2＝16都是原方程的根，但x2＝16不合题意，舍去． 　　∴x＝6，即AP＝6． 　　当AP＝6时，P为AD的中点， 　　则△PAB≌△PDC． 　　∴△PAB与△PDC相似，相似比为1．