Question

设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．

Answer 1

分析：如果设BD与CE交于点O，在BO上取一点F，使OF=OE，在OC上取一点H，使OH=OD，连接FH，则FD=HE．过H作BC的平行线交BD与M．首先，由角平分线的性质及∠ACB＞∠ABC，得出∠OCB＞∠OBC；再根据同一三角形中大角对大边，得出OM＞OH；然后由MH∥BC，根据平行线分线段成比例定理，得出BM＞CH，从而证出结论．

解答：解：设BD与CE交于点O，在BO上取一点F，使OF=OE，在OC上取一点H，使OH=OD，连接FH，则FD=HE．过H作BC的平行线交BD与M．
∵BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB，∠OBC=

1

2

∠ABC，
又∵∠ACB＞∠ABC，
∴∠OCB＞∠OBC．
∵MH∥BC，
∴∠OHM=∠OCB，∠OMH=∠OBC，
∴∠OHM＞∠OMH，
∴OM＞OH．
∵MH∥BC，
∴

OM

BM

=

OH

HC

，
∴BM＞CH，
又∵FD=HE，
∴BD＞CE．

点评：本题考查了角平分线、平行线的性质，三角形中大角对大边以及平行线分线段成比例定理．辅助线的作法是难点，本题属于竞赛题型，超出教材大纲要求．