Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为______

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比===2，再利用锐角三角函数的定义求值．
解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB=，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴=，即=，
∴PC=2；
故答案为：2

（2）的值不变，理由为：
证明：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴===2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，
∴的值不变．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，以及解直角三角形，解题的关键是利用互余关系证明相似三角形．