Question

如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交轴，轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点. 以OM为直径的⊙P分别交轴，轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K.

（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；  ②求ME的长；

（2）若，求∠OBA的度数；

（3）设（0<<1），，直接写出关于的函数解析式.

Answer 1

解：（1）①如答图，连接，

∵是⊙P的直径，∴.

∵，∴∥，∥.

∵点M是AB的中点，

∴点D是AB的中点，点C是OA的中点.

∵点M的坐标为（3，4），

∴.

∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）.

②在中，∵，

∴由勾股定理，得.

∵点M是AB的中点，∴.

∵，，∴.∴.

∴.∴.

（2）如答图，连接，

∵，∴.∴.

∵，∴是的中位线. ∴∥.∴

又∵.∴.∴.

∵是⊙P的直径，∴. ∴.

∵，∴.∴.

∵在中，点M是AB的中点，∴. ∴.

（3）关于的函数解析式为.

【分析】（1）①连接，由三角形中位线定理求得A，B两点的坐标.

②要求ME的长，由知只要求出和的长即可，的长可由长的一半求得，而长可由勾股定理求得；的长可由的对应边成比例列式求得.

（2）连接，求得得到，由得到，即因此求得.

（3）如答图，连接，

∵是⊙P的直径，∴.

∵（0<<1），不妨设，

∴在中，.

设，则.

∵在中，，∴.

∴.

∵，∴.

∴.

∵点P是MO的中点，∴.

∴.

∴关于的函数解析式为.