Question

7．⊙O是△ABG的外接圆，M是BC中点，PB，PC是⊙O切线，DM⊥ME．
求证：∠BPC=2∠DPE．

Answer 1

分析 延长DM到F，使得MF=DM，连接DE、EF、CF，作∠NPC=∠DPB，且PN=DP，连接CN、EN．分别证明△DMB≌△FMC，△EMD≌△EMF，△BPD≌△CPN，
△EFC≌△ENC，创造条件证明△DEP≌△NEP即可解决问题．

解答 证明：延长DM到F，使得MF=DM，连接DE、EF、CF，作∠NPC=∠DPB，且PN=DP，连接CN、EN．
在△DMB和△FMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=MF}\\{∠DMB=∠CMF}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DMB≌△FMC（SAS），
∴CF=BD，∠DBM=∠MCF，
在△MD和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EM}\\{∠EMD=∠EMF}\\{DM=MF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△EMF（SAS），
∴ED=EF，
在△BPD和△CPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PN}\\{∠DPB=∠NPC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CPN（SAS），
∴∠DBP=∠NCP，BD=CN，
∵∠ECN=360°-∠ECP-∠NCP，
∴∠ECN=∠A+∠BPC，
∵∠BPC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
∴∠ECN=180°-∠A，
∵∠ECF=∠ECB+∠FCB=180°-∠A，
∴∠ECN=∠ECF，
在△ECF和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECF=∠ECN}\\{CF=CN}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△ENC（SAS），
∴EF=EN=DE，
在△PED和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PE}\\{PD=PN}\\{DE=EN}\end{array}\right.$
∴△DEP≌△NEP（SSS），
∴∠DPE=$\frac{1}{2}$∠DPN=$\frac{1}{2}$BPC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，本题比较难突破点是证明∠ECN=∠ECF，为后面证明全等三角形创造条件．