Question

如图：已知在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点．
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）若AB=13，BC=10，求四边形ADEF的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）利用三角形中位线定理判定四边形ADEF是菱形；
（2）菱形ADEF的面积等于该菱形两对角线乘积的一半．

解答：（1）证明：∵D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点．
∴DE

∥

.

1

2

AC，EF

∥

.

1

2

AB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
又∵AB=AC，
∴DE=EF，
∴平行四边形ADEF的菱形；

（2）如图，连接AE、DF交于点O．
∵四边形ADEF是菱形，
∴AE⊥DF，OA=

1

2

AE，OD=

1

2

DF．
∵AD=

1

2

AB=

13

2

，DF=

1

2

BC=5，
∴在直角△ADO中，由勾股定理知OA=

AD2-OD2

=

( 13 2 )2-( 5 2 )2

=6，
∴AE=2OA=12，
∴菱形ADEF的面积=

1

2

DF•AE=

1

2

×5×12=30，即四边形ADEF的面积是30．

点评：本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．菱形是邻边相等的平行四边形．