题目内容
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位的速度向点A运动，到达A点后即停止，动点Q从点B出发，沿折线B-O-D以每秒1个单位的速
度向点D运动，到达点D后停止，点P、Q同时出发，BD与PQ相交于点M，设运动的时间为t秒．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在时间t，使△BMQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当t为何值时？以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形？
解：（1）∵AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，
∴点A（-21，12），B（-16，0），D（0，12），
设过点A、B、D的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则
，
解得
，
所以，抛物线的解析式为y=
x2+
x+12；
（2）∵点P的运动速度是每秒2个单位，点Q的运动速度是每秒1个单位，
∴点P到达点A的时间是21÷2=10.5秒，
点Q到达点O的时间是16÷1=16秒，到达点D的时间是（16+12）÷=28秒，
如图，①点Q在BO上时，BQ=t，∵AD∥OB，∠BOD=90°，
∴点P到BQ的距离等于OD的长度，
∴△BPQ的面积为S=
BQ•OD=t×12=6t（0＜t≤16）；
②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，
OQ=t-16，DQ=16+12-t=28-t，
∴△BPQ的面积为S=S梯形ABOD-S△BOQ-S△ADQ，
=×（16+21）×12-×（t-16）×16-×（28-t）×21，
=222-8t+128-294+
t，
=
t+56（16≤t≤28）；
综上，S=
；
（3）如图，①PQ⊥BQ时，∵四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，
∴四边形PQOD是矩形，
∴OQ=PD，
∴BQ+OQ=BQ+PD=OB，
即t+2t=16，
解得t=
（秒）；
②PQ⊥BD时，∵∠BOD=90°，OB=16，OD=12，
∴BD=
=
=20，
∵AD∥OB，
∴
=
=
=2，
∴BM=
×20=
，
cos∠OBD=
=
，
解得t=
（秒）；
综上，当t=或秒时，△BMQ为直角三角形；
（4）如图，①PB=PQ时，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，
∴BE=BQ=t，OE=PD=2t，
∵BE+OE=OB，
∴t+2t=16，
解得t=
（秒），
②PB=BQ时，∵点P到BQ的距离为OD的长度是12，而点P到点A的时间是10.5秒，
∴此时点P早已与到达点A与点A重合，
过点P作PE⊥BQ于E，则PE=OD=12，BE=AD-OB=21-16=5，
根据勾股定理，PB=
=
=13，
∴BQ=PB=13，
∴t=13÷1=13（秒），
综上，当t为或13秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形．
分析：（1）根据题意写出点A、B、D的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出点P到达点A的时间以及点Q到达点O与点D的时间，然后分①点Q在BO上时，用t表示出BQ，再根据点P到BQ的距离等于OD的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可；②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，用t表示出OQ、QD的长度，然后根据S△BPQ=S梯形ABOD-S△BOQ-S△ADQ，列式整理即可得解；
（3）分①PQ⊥BQ时，先求出四边形PQOD是矩形，然后根据矩形的对边相等可得OQ=PD，然后根据BO的长度列出关于t的方程求解即可；②PQ⊥BD时，利用勾股定理求出BD的长度，然后求出PM：BM的值，求出BM的长度，再利用∠DBO的余弦值列式求解即可；
（4）分①PB=PQ时，根据等腰三角形三线合一的性质，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，然后根据BE+OE=OB，列出关于t的方程求解即可；②PB=BQ时，点P已经与点A重合，过点P作PE⊥BQ于E，先利用勾股定理求出PB的长度，也就是BQ的长度，从而得解．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，利用了待定系数法求二次函数解析式，直角梯形的性质，动点问题，三角形的面积，本题最大的特点在于要根据运动时间的长短，对点P、Q的落点位置进行分情况讨论，运算量较大，要认真分析计算．
∴点A（-21，12），B（-16，0），D（0，12），
设过点A、B、D的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则
，解得
，所以，抛物线的解析式为y=
x2+x+12；（2）∵点P的运动速度是每秒2个单位，点Q的运动速度是每秒1个单位，
∴点P到达点A的时间是21÷2=10.5秒，
点Q到达点O的时间是16÷1=16秒，到达点D的时间是（16+12）÷=28秒，
如图，①点Q在BO上时，BQ=t，∵AD∥OB，∠BOD=90°，
∴点P到BQ的距离等于OD的长度，
∴△BPQ的面积为S=
BQ•OD=t×12=6t（0＜t≤16）；②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，
OQ=t-16，DQ=16+12-t=28-t，
∴△BPQ的面积为S=S梯形ABOD-S△BOQ-S△ADQ，
=
×（16+21）×12-×（t-16）×16-×（28-t）×21，=222-8t+128-294+
t，=
t+56（16≤t≤28）；综上，S=
；（3）如图，①PQ⊥BQ时，∵四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，
∴四边形PQOD是矩形，
∴OQ=PD，
∴BQ+OQ=BQ+PD=OB，
即t+2t=16，
解得t=
（秒）；②PQ⊥BD时，∵∠BOD=90°，OB=16，OD=12，
∴BD=
==20，∵AD∥OB，
∴
===2，∴BM=
×20=，cos∠OBD=
=，解得t=
（秒）；综上，当t=
或秒时，△BMQ为直角三角形；（4）如图，①PB=PQ时，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，
∴BE=
BQ=t，OE=PD=2t，∵BE+OE=OB，
∴
t+2t=16，解得t=
（秒），②PB=BQ时，∵点P到BQ的距离为OD的长度是12，而点P到点A的时间是10.5秒，
∴此时点P早已与到达点A与点A重合，
过点P作PE⊥BQ于E，则PE=OD=12，BE=AD-OB=21-16=5，
根据勾股定理，PB=
==13，∴BQ=PB=13，
∴t=13÷1=13（秒），
综上，当t为
或13秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形．分析：（1）根据题意写出点A、B、D的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出点P到达点A的时间以及点Q到达点O与点D的时间，然后分①点Q在BO上时，用t表示出BQ，再根据点P到BQ的距离等于OD的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可；②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，用t表示出OQ、QD的长度，然后根据S△BPQ=S梯形ABOD-S△BOQ-S△ADQ，列式整理即可得解；
（3）分①PQ⊥BQ时，先求出四边形PQOD是矩形，然后根据矩形的对边相等可得OQ=PD，然后根据BO的长度列出关于t的方程求解即可；②PQ⊥BD时，利用勾股定理求出BD的长度，然后求出PM：BM的值，求出BM的长度，再利用∠DBO的余弦值列式求解即可；
（4）分①PB=PQ时，根据等腰三角形三线合一的性质，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，然后根据BE+OE=OB，列出关于t的方程求解即可；②PB=BQ时，点P已经与点A重合，过点P作PE⊥BQ于E，先利用勾股定理求出PB的长度，也就是BQ的长度，从而得解．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，利用了待定系数法求二次函数解析式，直角梯形的性质，动点问题，三角形的面积，本题最大的特点在于要根据运动时间的长短，对点P、Q的落点位置进行分情况讨论，运算量较大，要认真分析计算．
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