Question

2．已知抛物线y=a（x-h）²，当x=2时，有最大值，且抛物线过点（1，-3），
（1）求抛物线的解析式．
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大．
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得抛物线的解析式为：y=a（x-2）²，然后将点（1，-3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式．
（2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大．
（3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-h）²，当x=2时，有最大值，
∴抛物线的解析式为：y=a（x-2）²，
∵抛物线过点（1，-3），
∴-3=a（1-2）²，
∴解得a=-3，
∴此抛物线的解析式y=-3（x-2）²．
（2）因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
（3）当x=0时，y=-3（x-2）²=-12，
所以抛物线y=-3（x-2）²与y轴的交点坐标为（0，-12）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．