Question

如图①是一张矩形纸片ABCD, AB=5， BC=1,在边AB上取一点M，在边CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，如图②所示.

   

(1)若∠1=70°，求∠MKN的度数；

(2) △MNK的面积能否小于  ?若能，求出此时∠1的度数，若不能说明理由；

(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你画图探究可能出现的情况，求出最大值.

Answer 1

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AM∥DN．

∴∠KNM=∠1．

∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，

∴∠MKN=40°．

(2)不能．如图，

过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．

∵∠KNM=∠KMN，

∴MK=NK，

又∵MK≥ME，

∴NK≥1．

∴△MNK的面积= NK•ME≥ ．

∴△MNK的面积不可能小于．

(3)分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．

MK=MB=x，则AM=5-x．

由勾股定理得1 2+(5-x) 2=x 2，

解得x=2.6．

∴MD=ND=2.6．

S △MNK=S △MND= =1.3．

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．

MK=AK=CK=x，则DK=5-x．

同理可得MK=NK=2.6．

∵MD=1，

∴S △MNK= =1.3．

△MNK的面积最大值为1.3．

【解析】

本题考查矩形的性质、轴对称变换以及勾股定理的运用.

(1)根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；

(2)过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK＞1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于 ；

(3)分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．