Question

7．△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A=90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．

（1）如图2，△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；（画图工具不限）
（2）△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．

Answer 1

分析 （1）根据伴侣分割线的定义，把∠ABC分成90°角和20°角即可；
（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，分别进行计算即可．

解答 解：（1）如图所示，BD即为△ABC关于点B的伴侣分割线；


（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分两种情况：
①△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必为底角，
∴∠DBC=∠C=x．
当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，
此时y=90°-x，
当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，
此时y=90°+x，
当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，
此时x=45°且90°≥y＞45°；

②△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时180°-x-y=y-90°，
∴y=135°-$\frac{1}{2}$x，
当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时∠A=45°，
∴y=135°-x．
综上所述，当y=90°-x，或y=90°+x，或x=45°且y＞x且90°≥y＞45°，或y=135°-$\frac{1}{2}$x，或y=135°-x时，△ABC存在伴侣分割线．

点评 此题主要考查了复杂作图，解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题的关键是正确理解题意，了解伴侣分割线的意义．