Question

6．如图1，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（4，0）和点B（0，4）交x轴负半轴于点C，过OB的中点E作EF∥x轴，点D在线段CA上，过点D作直线PQ∥y轴，交直线EF于点Q，交抛物线于点P，连接AE，BQ，设点D的横坐标为m，PQ的长度为n．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）当以点B、E、Q为顶点的三角形与△OEA相似时，直接写出m的值；
（3）当-2≤m≤0时，求n与m之间的函数关系式；
（4）如图2，以QD为一边向右作正方形QDMN，直接写出正方形QDMN的边与抛物线恰好有两个交点时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由∠BEQ=∠AOE，分两种情况讨论用相似三角形得出的比例式计算即可；

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（4，0）和点B（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
（2）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴C（-2，0）
∵A（4，0）和点B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∵点E是OB中点，
∴OE=BE=2，
∵点D的横坐标为m（-2≤m≤4），
∴EQ=|m|，
∵EF∥x轴，
∴∠BEQ=∠AOE，
∵以点B、E、Q为顶点的三角形与△OEA相似，
①△EQB∽△OEA，
∴$\frac{EQ}{OE}=\frac{BE}{OA}$，
∴$\frac{|m|}{2}=\frac{2}{4}$，
∴m=1或m=-1，
②△EBQ∽△OEA，
∴$\frac{EQ}{OA}=\frac{BE}{OE}$，
∴$\frac{|m|}{4}=\frac{2}{2}$，
∴m=4或m=-4（舍），
∴m=-1，m=1，m=4；
（3）∵点P在抛物线上，
∴点D的横坐标为m，D作直线PQ∥y轴，
∴P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
∵-2≤m≤0，Q（m，2），
∴PQ=n=|-$\frac{1}{2}$m²+m+4-2|=|-$\frac{1}{2}$m²+m+2|．
当y=2时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
∴x=1-$\sqrt{5}$，或x=1+$\sqrt{5}$（舍），
∴当-2≤m≤1-$\sqrt{5}$时，n=$\frac{1}{2}$m²-m-2，
当1-$\sqrt{5}$＜m≤0时，n=-$\frac{1}{2}$m²+m+2，
（4）∵QD=2，
∴QE=DM=2，
由（3）知，当y=2时，x=1-$\sqrt{5}$或x=1+$\sqrt{5}$，
∵正方形QDMN的边与抛物线恰好有两个交点时，且点D在线段AC上，点A（4，0），C（-2，0）
∴-2＜m＜1-$\sqrt{5}$或1+$\sqrt{5}$＜m＜4．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了的待定系数法，相似三角形的性质，正方形的性质，解本题的关键是分类讨论计算m的值，难点是正方形和抛物线有两个交点的m的范围的确定．