Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若AD=6，⊙O的半径为5，求弦DF的长．

Answer 1

（1）连接OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD∥OD
∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA，
∴∠DOC=∠BOC，
∴
∴点E为的中点

（2）∵在△BOC与△DOC中，

∴△BOC≌△DOC（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CD为⊙O的切线；

（3）∵AB⊥DF
∴2DG=DF
设AG=x，则OG=5-x
在Rt△ADG和Rt△ODG中，由勾股定理得：6²-x²=5²-（5-x）²
解得：
∴DG=
∴DF=2DG=9.6
分析：（1）连接OD．欲证明点E为的中点，只需证明∠DOC=∠BOC即可；
（2）若证明CD是⊙O的切线，需要证明∠ODC=90°，即OD⊥CD；
（3）利用垂径定理推知△ADG和△ODG都是直角三角形，所以在这两个直角三角形中利用勾股定理来求线段DG的长度．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．