Question

2．如图，AB为⊙O的直径，E、F为AB的三等分点，M、N为$\widehat{AB}$上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=$\sqrt{33}$，则直径AB的长为6．

Answer 1

分析 延长ME交⊙O于G，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，过O作OP⊥FN，垂足为P，首先证明FN=EG，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．

解答 解：延长ME交⊙O于G，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，过O作OP⊥FN，垂足为P
因为O为AB的中点，E，F为AB的三等分点，所以OE=OF，
又因为MG∥FN，
∴∠MEF=∠NFB=∠OFP
∵∠OHG=∠OPF=90°
∴△OHE≌△OPF
∴OH=OP，
同理可证Rt△OHG≌Rt△OPN，
∴∠G=∠N
易证△OEG≌△OFN，
∴EG=FN，
∵⊙O的直径AB=x，
∴OE=OA-AE=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x=$\frac{1}{6}$x，
OM=$\frac{1}{2}$x，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE•sin60°=$\frac{x}{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}x}{12}$，
在Rt△MOH中，MH=$\sqrt{O{M}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{x}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}x}{12}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{36{x}^{2}-3{x}^{2}}{144}}$=$\frac{\sqrt{33{x}^{2}}}{12}$，
根据垂径定理，MG=2MH=2×$\frac{\sqrt{33{x}^{2}}}{12}$=$\frac{\sqrt{33}x}{6}$，
即EM+FN=$\frac{\sqrt{33}x}{6}$=$\sqrt{33}$．
解得x=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．