Question

【题目】在平面直角坐标系中，记与的函数（≠0，n≠0）的图象为图形G, 已知图形G与轴交于点，当时，函数有最小（或最大）值n, 点B的坐标为(, )，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，且对角线AC，BD的交点与原点O重合，则称四边形ABCD为图形G的伴随四边形，直线AB为图形G的伴随直线.

（1）如图，若函数的图象记为图形G，求图形G的伴随直线的表达式；

（2）如图，若图形G的伴随直线的表达式是，且伴随四边形的面积为12，求与的函数（m＞0，n ＜0）的表达式；

（3）如图，若图形G的伴随直线是，且伴随四边形ABCD是矩形，求点B的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先利用抛物线解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求伴随直线的解析式；

（2）如图2，作BE⊥AC于点E，利用一次函数解析式和关于原点对称的坐标特征得到A（0，-3）和C（0，3），再利用平行四边形ABCD的面积为12可求出BE=2，则B点的横坐标为2，则利用顶点B在直线上得到顶点B的坐标为（2，-1），则设顶点式y=a（x-2）2-1，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

（3）如图，作轴于点,由在直线上，可得点B的坐标为（，），在Rt△OEB中，由勾股定理求出m的值，从而可求出点B的坐标.

（1）由题意得，

设所求伴随直线的表达式为，

则

解，得

所以函数y=（x-2）2+1的伴随直线的表达式是；

（2）如图，作BE⊥AC于点E,

由题意知，

OC=OA，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵，，

∴，

∵平行四边形ABCD的面积为12，

∴，

即,

∴ ，

∵＞0，即顶点B在轴的右侧，且在直线上，

∴，

又图形G经过点,

设顶点式y=a（x-2）2-1，

∴4a=-2，

，

；

（3）如图，作轴于点,

由已知得：，，

∵在直线上，

∴，即点B的坐标为（，），

∵矩形，

∴= 4，

∴，

在Rt△OEB中

，

∴，

∴（不合题意，舍去），，

∴ ，

∴点的坐标为.