Question

在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程x²+（c-4）x+

1

4

=0有两个相等的实数根，
则该三角形的面积是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,根的判别式

专题：

分析：根据根的判别式求出c的值，分为两种情况，一个是直角三角形，一个是等腰三角形，根据面积公式求出即可．

解答：解：∵关于x的方程x²+（c-4）x+

1

4

=0有两个相等的实数根，
∴△=（c-4）²-4×1×

1

4

=0，
解得：c=5或3，
当c=5时，∵a=3，b=4，
∴a²+b²=c²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是

1

2

×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD=

32-22

=

5

，
∴△ABC的面积是

1

2

×4×

5

=2

(    )

5，；
故答案为：6或2

5

．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想．