Question

2．如图所示，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PB=9，DB=12，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=12-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径

解答 解：
（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）在Rt△PBD中，PB=9，DB=12，
根据勾股定理得：PD=$\sqrt{P{B}^{2}+D{B}^{2}}$=15，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=9，
∴DC=PD-PC=15-9=6，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=12-r，
根据勾股定理得：（12-r）²=r²+6²，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5．

点评 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．