Question

19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F．
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的长．

Answer 1

分析 （1）延长FC至H，由AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，由EM⊥AB，得出∠EMB=∠ACB=90°，证得△ABC∽△EMB，得出∠CEF=∠CAB，由弦切角定理得出∠CAB=∠BCH，由对顶角相等得出∠BCH=∠ECF，推出∠CEF=∠ECF，即可得出结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，则CE=2$\sqrt{3}$，所以BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$，然后在Rt△BEM中计算出BM=$\frac{1}{2}$BE即可．

解答 （1）证明：延长FC至H，如图所示：
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB=∠ACB=90°，
∵∠ABC=∠EBM，
∴△ABC∽△EMB，
∴∠CEF=∠CAB，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠CAB=∠BCH，
∵∠BCH=∠ECF
∴∠CAB=∠ECF，
∴∠CEF=∠ECF，
∴EF=CF；
（2）解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵AC=CE，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠BEM=∠A=30°
∴BM=$\frac{1}{2}$BE=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、含30度的角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握弦切角定理与含30度的角直角三角形的性质是解决问题的关键．