Question

（10分）已知关于x的方程，

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．

（2）此方程的一根为1，请求出方程的另一根，并求出以此两根为边的直角三角形的三角形的周长．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）3；4＋或4＋．

【解析】

试题分析：（1）根据关于x的方程的根的判别式的符号来证明结论；

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．

试题解析：【解析】
（1）证明：∵，

∴在实数范围内，m无论取何值，，即△＞0，

∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根．

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3．

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．

考点：根的判别式；一元二次方程的解；勾股定理．

考点分析： 考点1：一元二次方程 定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 试题属性

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