Question

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S_△ABP=S_△ABO．

Answer 1

分析：（1）根据题意，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E；根据相似三角形的性质，可得BE、OE的值，进而可得B点的坐标；
（2）先设抛物线为y=ax²+bx+c，将ABC的坐标代入可得三元一次方程组，解即可得abc的值，即可得抛物线的解析式；
（3）根据题意设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，易得AB∥x轴；分析可得点P的纵坐标只能是0，或4；分情况代入数据可得答案．

解答：解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，
过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF=2，OF=1．
∵OA⊥OB，
∴∠AOF+∠BOE=90度．
又∵∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOF=∠OBE，
∴Rt△AFO∽Rt△OEB，
∴

BE

OF

=

OE

AF

=

OB

OA

=2，
∴BE=2，OE=4，
∴B（4，2）．（2分）

（2）设过点A（-1，2），B（4，2），O（0，0）的抛物线为y=ax²+bx+c．
∴

a-b+c=2 16a+4b+c=2 c=0

解之，得

a= 1 2 b=- 3 2 c=0

，
∴所求抛物线的表达式为y=

1

2

x²-

3

2

x．（5分）

（3）由题意，知AB∥x轴．
设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则S_△ABP=

1

2

AB•d=

1

2

AB•AF=5．
∴d=2．
∴点P的纵坐标只能是0，或4．（7分）
令y=0，得y=

1

2

x²-

3

2

x=0．
解之，得x=0，或x=3．
∴符合条件的点P₁（0，0），P₂（3，0）．
令y=4，得

1

2

x²-

3

2

x=4．
解之，得x=

3± 41

2

．
∴符合条件的点P3(

3- 41

2

，4)，P4(

3+ 41

2

，4)．
∴综上，符合题意的点有四个：
P₁（0，0），P₂（3，0），P3(

3- 41

2

，4)，P4(

3+ 41

2

，4)．（10分）

点评：本题考查学生数形结合处理问题、解决问题的能力．