题目内容

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，B（1，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，经过点B（1，0），C（0，-3），
∴
-
b
2a
=-1
a+b+c=0
c=-3
，
解得
a=1
b=2
c=-3
，
所以，二次函数的解析式是：y=x2+2x-3；

（2）如图，∵A、B两点关于对称轴x=-1对称，
∴点A（-3，0），
作直线AC交对称轴于点P，点P即为所求，
根据三角形的三边关系，PA-PC＜AC，
所以，当点P为AC与对称轴的交点时，点P到A、C两点距离之差最大，
设直线BC的解析式是：y=kx+b，
∴
k+b=0
b=-3
，
解得
k=3
b=-3
，
∴设直线AC的解析式是：y=3x-3，
当x=-1时，y=-6，
∴点P的坐标是（-1，-6）．
练习册系列答案
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如图，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，若正方形的边长为4，求过B、M、C这三点的抛物线的解析式．
二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
（1）求函数y=ax2+c的表达式．
（2）若点C（-2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2-2x-8=0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，将抛物线y=x2沿x轴正方向平移3个单位得到抛物线l，直线y=-2．
（1）求抛物线l的解析式；
（2）点A是抛物线l上一点，点B是直线y=-2上一点，是否存在等腰△OAB？若存在，求点A，B两点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若将上题中的“沿x轴正方向平移3个单位”改为“沿x轴正方向平移n个单位”，其它条件不变，探究上题（2）中的问题．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）求点C在这条抛物线上时m的值．
（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．
（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
））
已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，他们同时分别从点A、O向B点匀速移动，移动的速度都是1厘米/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）
（1）试用t的代数式表示P点的坐标；
（2）求△OPQ的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
（3）试问是否存在这样的时刻t，使△OPQ为直角三角形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，4）和B（-2，0），连接AB．
（1）现将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AO1B1，请画出△AO1B1，并直接写出点B1、O1的坐标（注：不要求证明）；
（2）求经过B、A、O1三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图．

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