题目内容

等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为________．

12cm²
分析：首先根据题意画出图形，利用三角函数计算出AB的长，然后再计算出以AB为边的正方形面积．
解答：

解：如图所示：
∵等边△ABC的高为3cm，
∴AD=3cm，
∴AB=AD÷sinB=3÷sin60°=2 $\text{[math]}$ （cm），
∴以AB为边的正方形面积为：2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =12（cm²），
故答案为：12cm²．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质，以及三角函数，关键是计算出等边三角形的边长．

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阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：

AB•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？

（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=

．若不存在，请说明理由．

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A₁A₂…A_n，内部任意一点P到各边的距离为r₁r₂…r_n，请问r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

等边△ABC的高为3cm，则△ABC的面积为

等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为

等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .