Question

【题目】如图，在中，．半径为的圆与边相交于点与边相交于点连结并延长，与线段的延长线交于点．

（1）当时，连结若与相似，求的长；

（2）若求的正切值；

（3）若，设的周长为，求关于的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），其中

【解析】

（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；
（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；
（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．

解：

三角形为等腰三角形

与相似

在中，

过点作于点，

且设

与相似

即

在中，

解之得，

即

过点作

与相似，

，

即，

即

与相似

，

即：

过点作于点，

则与相似，

设，则

且

在中，

据勾股定理得：

即：，

解之得(舍去)

与相似

三角形的周长

即：，其中