Question

13．如图，在正方形ABCD中，EB=$\frac{1}{4}$AB，FG⊥ED，EF²=EG•ED，求证：BF=FC．

Answer 1

分析 由已知条件得到△EGF∽△EFD，于是得到∠EFD=90°，推出△BEF∽△CFD，得到$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，即$\frac{\frac{1}{4}AB}{CF}=\frac{AB-CF}{AB}$，得到方程CF²-CF+$\frac{1}{4}$=0，解得CF=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$AB，即可得到结论．

解答 证明：∵EF²=EG•ED，∠E=∠E，
∴△EGF∽△EFD，
∵FG⊥ED，
∴∠EFD=90°，
∴∠BFE=∠CDF=90°-∠DFC，
∵∠B=∠C，
△BEF∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，即$\frac{\frac{1}{4}AB}{CF}=\frac{AB-CF}{AB}$，
设AB=1，
则CF²-CF+$\frac{1}{4}$=0，
解得：CF=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=FC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．