Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，点，且，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，.

（1）点的坐标为______.

（2）解答下列问题：

①设的面积为，用含的式子表示，并写出的取值范围.

②当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①，，或，.②，或.

【解析】

（1）由旋转的性质得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE=OB-OE=m-8，由三角形的面积公式得出S=m2-4m（m＞8）即可； b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE=OE-OB=8-m，由三角形的面积公式得出S=-m2+4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
②当S=6，m＞8时，得出m2-4m=6，解方程求出m即可；当S=6，0＜m＜8时，得出-m2+4m=6，解方程求出m即可．

解：（1）∵点A（0，8），
∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴AC=AO=8，∠OAC=90°，
∴C（8，8），
故答案为：（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：

则BE=OB-OE=m-8，
∴S=DCBE=m（m-8），
即S=m2-4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：

则BE=OE-OB=8-m，
∴S=DCBE=m（8-m），
即S=-m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=m2-4m（m＞8），或S=-m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，m2-4m=6，
解得：m=4±2（负值舍去），
∴m=4+2；
当S=6，0＜m＜8时，-m2+4m=6，
解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）．