Question

13．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于D，过D作⊙O的切线交AC的延长线于E，OE交AD于F．
（1）求证：DE⊥AE；
（2）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求$\frac{DF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明OD∥AE，结合切线的性质可求得∠AED=90°，可证明DE⊥AE；
（2）设AC=3k，AB=5k，BC=4k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出$\frac{DF}{AF}$的值．

解答 （1）证明：
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE；
（2）解：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG=CG，
又∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4k，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，BG=$\frac{1}{2}$BC=2k，
∴OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{3}{2}$k，
∴DG=OD-OG=$\frac{5}{2}$k-$\frac{3}{2}$k=k，
又∵四边形CEDG为矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴$\frac{FD}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$=$\frac{\frac{5}{2}k}{4k}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题主要考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质以及平行线分线段成比例定理是解题的关键．