Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E，先将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上，对应点记为B₁；BD的中点F的对应点记为F₁．若△EFB∽△AF₁E，则B₁D=

 

．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出BC，设BD=2x，得到BF=FD=DF₁=B₁F₁=x，然后求出AF₁，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DE，然后利用勾股定理列式求出F₁E，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得B₁D的值．

解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
设BD=2x，
∵点F为BD的中点，将△BDE沿DE折叠，点B对应点记为B₁，点F的对应点为F₁，
∴BF=FD=DF₁=B₁F₁=x，
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴

BD

BC

=

DE

AC

，
即

2x

4

=

DE

3

，
解得DE=

3

2

x，
在Rt△DF₁E中，E₁F=

DE2+DF12

=

( 3x 2 )2+x2

=

13 x

2

，∴AF₁=AB-BF₁=5-3x
根据题意知，EFB≌△EF₁B₁．
∵△EFB∽△AF₁E，
∴△EF₁B₁∽△AF₁E，
∴

F1E

B1F1

=

F1A

EF1

，
∴EF₁²=AF₁•B₁F₁，
即（

13 x

2

）²=x（5-3x），
解得x=

4

5

，
∴B₁D的长为2×

4

5

=

8

5

．
故答案为：

8

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．