Question

已知f(x)=

1

1+x

，求f(

1

2009

)+f(

1

2008

)+…f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（2008）+f（2009）=

 

．

Answer 1

分析：首先由f（x）=

1

1+x

，根据分式的运算，可得f（

1

x

）+f（x）=1，继而可得f(

1

2009

)+f(

1

2008

)+…f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（2008）+f（2009）=f（

1

2009

）+f（2009）+f（

1

2008

）+f（2008）+…+f（

1

2

）+f（2）+f（1），则可求得答案．

解答：解：∵f（x）=

1

1+x

，
∴f（

1

x

）+f（x）=

1

1+ 1 x

+

1

1+x

=

x

1+x

+

1

1+x

=

1+x

1+x

=1，
∴f(

1

2009

)+f(

1

2008

)+…f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（2008）+f（2009）=f（

1

2009

）+f（2009）+f（

1

2008

）+f（2008）+…+f（

1

2

）+f（2）+f（1）=1+1+…+1+1=2009．
故答案为：2009．

点评：此题考查了分式的加减运算，考查了学生的观察归纳能力．此题难度中等，解题的关键是找到规律：f（

1

x

）+f（x）=1．