Question

已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点不重合），现将沿PC翻折得到，再在边上选取适当的点D，将沿翻折，得到，使得直线重合．
（1）若点E落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片的内部，如图②，设当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形， 可得  设过此三点的抛物线为 则  ∴过三点的抛物线的函数关系式为 （2）由已知平分平分且重合， 则 又． ． 即  ∴ 当时，y有最大值 （3）假设存在，分两种情况讨论： ①当时，由题意可知，且点C在抛物线上， 故点C与点Q重合， 所求的点Q为（0，3）  ②当时，过点D作平行于PC的直线， 假设直线交抛物线于另一点Q， ∵点 ∴直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合， ∴直线的方程为 由得或 又点 故该抛物线上存在两点满足条件．