Question

已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建

立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折

得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得

直线重合．

（1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标

 

Answer 1

解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，

可得

 

设过此三点的抛物线为则

 

 

 

 

 

 

 

过三点的抛物线的函数关系式为

（2）由已知平分平分且重合，则

又

．

．

即

当时，有最大值

（3）假设存在，分两种情况讨论：

①当时，由题意可知，且点在抛物线上，故点与点重合，所求的点为（0，3）

②当时，过点作平行于的直线，假设直线交抛物线于另一点点，直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合，直线的方程为

由得或

又点

故该抛物线上存在两点满足条件．