Question

（本题12分）如图1，在等边△ABC中，点E从顶点A出发，沿AB的方向运动，同时，点D从顶点B出发，沿BC的方向运动，它们的速度相同，当点E到达点B时， D、E两点同时停止运动.

（1）求证：CE＝AD；

（2）连接AD、CE交于点M，则在D、E运动的过程中，∠CMD变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；

（3）如图2，若点D从顶点B出发后，沿BC相反的方向运动，其它条件不变. 求证：CE＝DE.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）∠CMD的大小不变；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质得△CAE≌△ABD，从而的证；

（2）由（1）中全等的到结果

（3）作出平行线可以得到△AEF为等边三角形，由此得到△CFE≌△EBD，从而的证.

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠CAE＝∠ABD＝60°，

又∵AC＝AB，AE＝BD，

∴△CAE≌△ABD，

∴CE＝AD；

（2）∠CMD的大小不变

. ∵△CAE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠BAD，

∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠CMD＝∠CAD+∠ACE＝∠CAD+∠BAD＝60°；

（3）过点E作EF平行于BC交AC于点F，易证△AEF为等边三角形，

∴EF＝AE＝BD，∠EFC＝∠DBE＝120°，CF＝EB，

∴△CFE≌△EBD，

∴CE＝DE.

考点：等边三角形的性质，全等三角形