Question

25、已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，AE交CD于E，CF交AB于F，问AE与CF是否平行？为什么？

Answer 1

分析：想证明AE与CF平行需构造应用平行线判定方法的条件，∠DEA和∠DCF是直线AE与FC被直线CD所截而成的同位角，根据垂直的定义和角平分线的性质可结合图形证得∠DEA=∠DCF，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∥CF．

解答：解：平行．理由如下：
∵AD⊥DC，BC⊥AB，
∴∠D=∠B=90°．
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°．
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠DAE+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE+∠DEA=90°．
∴∠DEA=∠DCF．
∴AE∥CF．

点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．本题通过构造同位角相等证明两被截直线平行．