Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是DC上一点，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）指出旋转的中心和旋转的角度；
（2）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由．
（3）已知点G在BC上，且∠GAE=45°．
①试说明GE=DE+BG．
②若E是DC的中点，求BG的长．

Answer 1

解：（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°．

（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°．
∵△ADE绕着点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF．
又∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（3）①∵∠GAE=45°，∠EAF=90°，
∴AG是∠EAF的平分线，
又∵AF=AE，
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴GE=GF．
∵DE=BF，
∴DE+GB=BF+BG=GF．
∴GE=DE+BG．
②∵E是DC的中点，
∴DE=EC=FB=1．
设GB=x，则GC=2-x，GE=1+x．
在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得
1+（2-x）²=（1+x）²．
解这个方程，得x=，即BG的长为．
（注：用其它方法求解参照以上标准给分．）
分析：（1）根据旋转的定义，直接得出旋转的中心和旋转的角度；
（2）根据旋转的性质得出△ADE≌△ABF，进而得出AE=AF，求出△AEF是等腰直角三角形；
（3）①首先得出AG是线段EF的垂直平分线，进而得出DE+GB=BF+BG=GF，即可得出答案；
②首先设GB=x，则GC=2-x，GE=1+x．在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得1+（2-x）²=（1+x）²，求出x即可．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和线段垂直平分线的性质等知识，熟练利用旋转的性质得出△ADE≌△ABF是解题关键．