题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201112/92/9c1d4ae6.png)
(1)求证:DP平分∠ADC;
(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.
分析:(1)连接PC.根据直角三角形的性质可得PC=
EF=PA.运用“SSS”证明△APD≌△CPD,得∠ADP=∠CDP;
(2)作PH⊥CF于H点.分别求DF和PH的长,再计算面积.设DF=x,在Rt△EFC中,∠CEF=60°,运用勾股定理可求DF;根据三角形中位线定理求PH.
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(2)作PH⊥CF于H点.分别求DF和PH的长,再计算面积.设DF=x,在Rt△EFC中,∠CEF=60°,运用勾股定理可求DF;根据三角形中位线定理求PH.
解答:
(1)证明:连接PC.
∵ABCD是正方形,
∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.
∴∠EAF=∠BAD=90°.
∵P是EF的中点,
∴PA=
EF,PC=
EF,
∴PA=PC.
又∵AD=CD,PD=PD(公共边),
∴△PAD≌△PCD,(SSS)
∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;
(2)作PH⊥CF于H点.
∵P是EF的中点,
∴PH=
EC.
设EC=x.
由(1)知△EAF是等腰直角三角形,
∴∠AEF=45°,
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°,
∴EF=2x,FC=
x,BE=2-x.
在Rt△ABE中,22+(2-x)2=(
x)2,即x2+4x-8=0,
解得 x1=-2-2
(舍去),x2=-2+2
.
∴PH=-1+
,FD=
(-2+2
)-2=-2
+4.
∴S△DPF=
(-2
+4)×(-1+
)=3
-5.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/23/7756cab4.png)
∵ABCD是正方形,
∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.
∴∠EAF=∠BAD=90°.
∵P是EF的中点,
∴PA=
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∴PA=PC.
又∵AD=CD,PD=PD(公共边),
∴△PAD≌△PCD,(SSS)
∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;
(2)作PH⊥CF于H点.
∵P是EF的中点,
∴PH=
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设EC=x.
由(1)知△EAF是等腰直角三角形,
∴∠AEF=45°,
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°,
∴EF=2x,FC=
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在Rt△ABE中,22+(2-x)2=(
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解得 x1=-2-2
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∴PH=-1+
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∴S△DPF=
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点评:此题考查正方形、特殊直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点,综合性强,难度较大.
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