Question

已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F　，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
⑴ 求证：△BCE≌△DCF；
⑵ OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
⑶ 若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面积．
 

Answer 1

（1）证明：∵BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，CE=CF，
∴△BCE≌△DCF．                                                   
（2）解：OG=BF．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BGD≌△BGF，
∴DG=GF，
∵O正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=BF．                                                   
（3）解：设BC=x，则DC=x，BD=x，
由（2）知，△BGF≌△BGD，
∴BF=BD，
∴CF=（-1）x，
∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，
∴△GDB∽△GED，
∴，
∴GD²=GE•GB=4-2，
∵DC²+CF²=（2GD）²，
∴x²+（-1）²x²=4（4-2）²，
（4-2）x²=4（4-2），
x²=4，
正方形ABCD的面积是4个平方单位．                      

解析