Question

18．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=BO=2，∠AOB=120°．
（1）求a，b的值；
（2）连结OM，求∠AOM的大小．

Answer 1

分析 （1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案．

解答 解：（1）如图，

过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=1，EO=$\sqrt{3}$，
∴A点坐标为：（-1，$\sqrt{3}$），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax²+bx得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b=\sqrt{3}}\\{4a+2b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）由（1）可知：抛物线的表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x；

过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M点坐标为：（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴tan∠FOM=$\frac{FM}{FO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°．

点评 此题考查二次函数的综合运用，掌握锐角三角函数、待定系数法求二次函数解析式是解决问题的关键．