Question

【题目】如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．

（Ⅰ）求证：PA是⊙O的切线；

（Ⅱ）若BC=2，AB=2，求sin∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（Ⅰ）根据垂径定理得出AO⊥BC，进而根据平行线的性质得出AP⊥AO，即可证得结论；

（Ⅱ）根据垂径定理得出BE=，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数关系得出sin∠BAE=，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠BAE，即可求得求sin∠ABD=sin∠BAE=．

详解：（Ⅰ）证明：连结AO，交BC于点E．

∵点A是的中点

∴AO⊥BC，

又∵AP∥BC，

∴AP⊥AO，

∴AP是⊙O的切线；

（Ⅱ）解：∵AO⊥BC，BC=2，

∴BE=BC＝，

又∵AB=6

∴sin∠BAE=，

∵OA=OB

∴∠ABD=∠BAO，

∴sin∠ABD=sin∠BAE=．