Question

【题目】如图，抛物线经过、、三点．

求抛物线的解析式；

如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．

如图②，点是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】 ．在抛物线的对称轴上存在点，使得四边形的周长最小，四边形周长的最小值为．在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．

【解析】

（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；

（3）分两种情况分别讨论，即可求得．

由已知得解得．

所以，抛物线的解析式为．

∵、关于对称轴对称，如图，连接，

∴与对称轴的交点即为所求的点，此时，

∴四边形的周长最小值为：，

∵、、，

∴，，，

∴；

∴在抛物线的对称轴上存在点，使得四边形的周长最小，四边形周长的最小值为．

∵、，

∴直线的解析式为，

①当时，如图，设，

∵，

∴只能，

∵轴，

∴，

∴，即，解得，

代入得，，解得，

∴；

②当时，如图，

∵，

∴只能，

设，

∴，

∵，，

∴，

∴，解得，

作，

∴，即，

∴，，

∴，

∴，

综上，在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．